题意:
有\(n(n \leq 18)\)个人打擂台赛,编号从\(1\)到\(n\),主角是\(1\)号。
一开始主角先选一个擂主,和一个打擂的人。 两个人之中胜的人留下来当擂主等主角决定下一个人打擂,败的人退出比赛,直到比赛只剩一个人。 已知任意两人之间决胜的胜率\(P_{ij}\),求主角最终能够获胜的概率。分析:
设\(d(S, i)\)表示存活的人的集合为\(S\),当前擂主为\(i \in S\),主角获胜的概率。
为了方便我们把编号设为\(0 \sim n-1\),递推边界\(d(1,0)=1\)。考虑\(d(S,i)\),枚举下一个要打擂的人\(k \in S\):
- \(P_{ij}\)的概率\(i\)战胜\(j\),擂主为\(i\),状态转移到\(d(S-j,i)\)
- \(P_{ji}\)的概率\(j\)战胜\(i\),擂主为\(j\),状态转移到\(d(S-i,j)\)
因为主角可以决定打擂人选\(j\),所以\(d(S,i)=max\{ P_{ij}d(S-j,i) + P_{ji}d(S-i,j) \}\)
最后枚举最开始的擂主,选一个最大值就是答案。
#include#include #include using namespace std;double p[18][18], d[1 << 18][18];int main(){ int n; scanf("%d", &n); for(int i = 0; i < n; i++) for(int j = 0; j < n; j++) scanf("%lf", &p[i][j]); d[1][0] = 1; for(int S = 3; S < (1 << n); S += 2) { for(int i = 0; i < n; i++) if(S&(1<